يکي از حرکتهاي مهم ، حرکت دوراني است. نمونه‌هاي بسياري از اين نوع حرکت را هر روز مشاهده مي‌‌کنيم. چرخش زمين به دور محور خود نمونه‌اي از حرکت دوراني است. بايد توجه داشته باشيم که حرکت بر روي مسير دايره‌اي ، با دوران يک جسم به دور يک محور تفاوت دارد. هر حرکت دوراني با محور دوران و زاويه دوران مشخص مي‌‌شود. زاويه دوران در سرعت زاويه‌اي جسم لحاظ مي‌‌شود.

سينماتيک دوران

جسم صلبي را در نظر بگيريد که حول محوري که بر سطح اين جسم عمود است، دوران مي‌‌کند. براي سادگي فرض مي‌‌کنيم که محور دوران ثابت مي‌‌باشد. اگر محل ذره‌اي بر روي جسم در چارچوب مرجع ما معلوم باشد، مي‌‌توانيم وضعيت تمامي ‌جسم در حال دوران را در اين چارچوب مرجع مشخص کنيم. لذا براي سينماتيک اين مسيله ، کافي است که فقط حرکت يک ذره بر روي يک دايره را در نظر بگيريم. اندازه دوران در هر لحظه به وسيله زاويه ? ، زاويه‌اي که موضع زاويه‌اي ذره نسبت به موضع اوليه مي‌‌سازد، تعيين مي‌‌شود. لذا اگر جهت دوران پاد ساعتگرد را مثبت اختيار کنيم، در نتيجه ? هنگام دوران پاد ساعتگرد افزايش و هنگام دوران ساعتگرد کاهش پيدا مي‌‌کند.

سرعت زاويه‌اي ?

آهنگ تغييرات جابه‌جايي زاويه‌اي ذره (?) نسبت به زمان به عنوان سرعت زاويه‌اي متوسط تعريف مي‌‌شود. در واقع اگر تغييرات زاويه‌اي را با ?? و مدت زمان اين تغيير را با t? نشان دهيم، در اين صورت سرعت زاويه‌اي با نسبت ?/?t? برابر است. حال اگر چنانکه از اين عبارت هنگامي ‌که t? به سمت صفر ميل مي‌‌کند، حد بگيريم کميت حاصل سرعت زاويه‌اي لحظه‌اي خواهد بود. با توجه به تعريف مشتق در واقع مي‌‌توان گفت که سرعت زاويه‌اي با مشتق زماني جابجايي زاويه‌اي ? برابر است. يکاي سرعت زاويه‌اي عکس يکاي زمان است و معمولا يکاهاي آن را راديان بر ثانيه يا دور بر ثانيه انتخاب مي‌‌کنند.

شتاب زاويه‌اي ?

اگر سرعت زاويه‌اي تغيير بکند، اين تغيير سبب ايجاد شتاب مي‌‌گردد. اين شتاب ، شتاب زاويه‌اي نام دارد. اگر و ?_2 به ترتيب سرعتهاي زاويه‌اي لحظه‌اي در زمانهاي t_1 و t_2 باشند، در اين صورت شتاب زاويه‌اي متوسط که با \bar ? نشان مي‌‌دهيم، به صورت زير خواهد بود:

حال اگر از اين عبارت هنگامي که t? به سمت صفر ميل مي‌‌کند، حد بگيريم، در اين صورت کميت حاصل را شتاب زاويه‌اي لحظه‌اي مي‌گويند. چون سرعت زاويه‌اي (?) براي تمام ذرات جسم صلب يکسان است، لذا شتاب زاويه‌اي (?) نيز براي تمام ذرات يکسان خواهد بود. يکاي شتاب زاويه‌اي عکس مجذور زمان است و يکاهاي آن را معمولا راديان بر مجذور ثانيه يا دور بر مجذور ثانيه تعريف مي‌‌کنند.

مقايسه حرکت دوراني حول محور ثابت و حرکت انتقالي

دوران ذره (يا جسم صلب) حول يک محور ثابت با حرکت انتقالي ذره (يا جسم صلب) در يک امتداد ثابت هم‌خواني صوري دارد. متغيرهاي سينماتيک در حالت اول ? (جابجايي زاويه‌اي) ، ? (سرعت زاويه‌اي) و ? (شتاب زاويه‌اي) هستند، اما در حالت دوم x (جابه‌جايي خطي) ، v شتاب خطي) هستند. اين کميتها دو به دو متناظرند. البته اينها از لحاظ يکا با هم اختلاف دارند. هرگاه در حرکت انتقالي محدوديت مربوط به حرکت در امتداد خط راست را حذف کنيم و حالت کلي حرکت سه بعدي را بر روي مسير منحني در نظر بگيريم، متغيرهاي خطي a ، v ، x به صورت مولفه‌هاي اسکالر بردارهاي سينماتيکي ظاهر مي‌‌شوند، اما در صورت حذف محدوديت دوران حول محور ثابت ، متغيرهاي سينماتيک دوران به اين سادگي به بردار تبديل نمي‌‌شوند.
با استفاده از تناظري که اشاره شد، به راحتي مي‌‌توان معادلات حرکت را در حرکت دوراني حول يک محور ثابت بدست آورد. فقط کافي است متغيرهاي سينماتيکي حرکت انتقالي در امتداد ثابت را با متغييرهاي سينماتيکي حرکت دوراني جايگزين کنيم.

نمايش برداري کميتهاي دوراني

جابجايي ، سرعت و شتاب خطي کميتهاي برداري هستند. کميتهاي زاويه‌اي متناظر آنها نيز مي‌‌توانند بردار باشند، چون علاوه بر بزرگي بايد جهتي نيز براي آنها در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر محور دوران ثابت نباشد، در اين صورت نمي‌‌توان گفت که کميتهاي ? ، ? ، ? باز هم حالت اسکالر دارند، اما نمي‌‌توانيم اين کميتها را بردار تصور کنيم. به عنوان مثال ، جابجايي زاويه‌اي ? نمي‌‌تواند بردار باشد، چون به صورت برداري با هم جمع نمي‌‌شوند. از رياضيات مي‌‌دانيم که حاصل جمع دو بردار خاصيت جابجايي دارد، يعني وقتي که دو بردار A و B را باهم جمع مي‌‌کنيم، فرقي ندارد که A + B بنويسيم يا B + A. در صورتي که در مورد ? که زاويه دوران است، چنين نيست، اما اگر جابجايي زاويه‌اي بينهايت کوچک باشد، مي‌‌توان آن را برداري در نظر گرفت.

رابطه سينماتيک خطي و زاويه‌اي

هرگاه جسم صلبي حول يک محور ثابت بچرخد، هر ذره از آن بر روي يک مسير دايره‌اي حرکت مي‌‌کند. لذا مي‌‌توانيم حرکت اين ذره را با متغيرهاي خطي يا متغيرهاي زاويه‌اي توصيف کنيم. با استفاده از رابطه ميان متغيرهاي خطي و زاويه‌اي مي‌‌توانيم از توصيف يکي توصيف ديگري را نتيجه بگيريم و اگر سرعت خطي را با v و سرعت زاويه‌اي را با ? و فاصله نقطه مورد نظر از جسم صلب از محور دوران را با r نشان دهيم. در اين صورت v = ? r خواهد بود. در حرکت دايره‌اي دو نوع شتاب مي‌‌تواند وجود داشته باشد. يکي شتاب مماسي است که از تغيير سرعت خطي v حاصل مي‌‌شود و ديگري شتاب زاويه‌اي است که از تغييرات سرعت زاويه‌اي ? بوجود مي‌‌آيد.

گشتاور نيرو

در حرکت انتقالي نيرو را به شتاب خطي جسم وابسته مي‌‌کنيم. در حرکت دوراني کميتي که به شتاب زاويه‌اي جسم وابسته است، گشتاور نيرو مي‌‌باشد. ابتدا گشتاور نيرو را براي حالت خاص يک ذره منفرد که از يک چارچوب مرجع لخت مشاهده مي‌‌شود، تعريف مي‌‌کنيم. سپس آن را به دستگاههاي ذرات تعميم مي‌‌دهيم. در مورد يک ذره منفرد که به فاصله r از مبدا مختصات قرار دارد و تحت تاثير نيروي F حول محوري که از مبدا مختصات گذشته و بر صفحه شامل ذره و نيرو عمود است، دوران مي‌کند، گشتاور نيرو با حاصل‌ضرب برداري r در F برابر است.
در حرکت دوراني گشتاور نيرو با شتاب زاويه‌اي ارتباط نزديکي دارد، يعني همان گونه که در حرکت انتقالي نيرو با حاصل‌ضرب جرم و شتاب خطي برابر است، گشتاور نيرو نيز با حاصل‌ضرب شتاب زاويه‌اي در ممان اينرسي (يعني گشتاور لختي يا لختي دوراني) برابر است، يعني اگر گشتاور نيرو را با T و ممان اينرسي را با I نشان دهيم، خواهيم داشت I = T .

حرکت دوراني حول محوري که حرکت انتقالي دارد

دوران حول يک محور ثابت حالت خاصي از حرکت دوراني است، اما اگر محور دوران ثابت نباشد، در اين صورت شرايط فرق مي‌‌کند. به عنوان مثال ، استوانه‌اي که بر روي يک سطح افقي مي‌‌غلتد، نمونه‌اي از اين نوع حرکت است. حرکت غلتان اين جسم را مي‌‌توان ترکيبي از حرکتهاي انتقالي و دوراني در نظر گرفت. در مورد استوانه در هر لحظه نقطه تماس استوانه و سطح در حال حرکت است، چون جسم نمي‌‌لغزد. بنابراين در اين حالت مي‌‌توان حرکت را ترکيب حرکت انتقالي مرکز جرم و حرکت دوراني حول محوري که از مرکز جرم مي‌‌گذرد، دانست که هم ارز است با يک حرکت دوراني محض با همان سرعت زاويه‌اي حول محوري که از نقطه تماس جسم غلتان مي‌‌گذرد.

دوران جسم صلب حول محور دلخواه

در کلي‌ترين حالت دوران جسم صلب حول محوري که ثابت نبوده و حرکت دوراني دارد، مورد بحث قرار مي‌‌گيرد. در اين حالت براي بررسي حرکت جسم صلب به صورت زير عمل مي‌‌کنيم:
دو سيستم مختصات که يکي در خارج از جسم ثابت بوده و ديگري در روي جسم صلب قرار داشته و به همراه آن مي‌‌چرخد، در نظر مي‌‌گيريم. سيستم مختصات متصل به جسم را با پريم مشخص مي‌‌کنيم. در اين صورت سه محور چارچوب ثابت و چارچوب متصل به جسم با هم زاويه مي‌‌سازد که اين زوايا را زواياي اويلر مي‌‌گويند. به بيان ديگر ، مي‌‌توان گفت که با سه دوران پي‌درپي به اندازه اين زاويه‌ها دو چارچوب پريم‌دار و بدون پريم بر هم منطبق مي‌‌شوند.
بنابراين چارچوب براي نشان دادن جهت گيري جسم صلب در فضا نسبت به چارچوب ساکن در نظر گرفته مي‌‌شود، اما در مورد جسم صلب مي‌‌توان سه محور عمود بر هم چنان انتخاب کرد که حاصلضرب ممانهاي اينرسي صفر شوند. لازم به توضيح است ممان اينرسي جسم صلب ، در حالت کلي ، به صورت يک ماتريس خواهد بود که اعضاي قطر اصلي ، ممان اينرسي اصلي و ساير عناصر را حاصل‌ضرب ممانهاي اينرسي مي‌‌گويند. بنابراين چارچوب سومي ‌در نظر گرفته مي‌‌شود که سه محور آن محورهاي اصلي جسم صلب هستند.
به اين ترتيب معادلات حرکت جسم صلب تنظيم مي‌‌گردد و در مورد نحوه حرکت و تعادل جسم صلب بحث مي‌‌شود. بديهي است که در اين حالت کميتها به صورت تانسوري در نظر گرفته مي‌‌شوند. به عنوان مثال ، اندازه حرکت خطي به صورت L = I? بيان مي‌‌شود که دراين جا I تانسور اينرسي است که نمايش آن به صورت يک ماتريس مربعي است و ? به صورت يک ماتريس ستوني مي‌‌باشد. به خاطر پيچيدگيهاي رياضي از ارايه معادلات حرکت خودداري مي‌‌شود.
منبع:http://www.academist.ir /س